Bilangan Prima Yang Kurang Dari 15 Adalah

By | 10 Agustus 2022

Bilangan Prima Yang Kurang Dari 15 Adalah.

Bilangan massa dapat disusun menjadi persegi panjang, sedangkan takdir prima tidak dapat.

Bilangan prima
adalah bilangan asli bertambah dari 1 yang bukan hasilkali dari dua bilangan asli yang kian kecil. Kadar lugu yang lebih terbit 1 dan bukan suratan prima disebut garis hidup komposit. Misalnya, 5 adalah bilangan prima karena 5 dapat ditulis seumpama




1
×


5


{\displaystyle 1\times 5}




atau




5
×


1


{\displaystyle 5\times 1}



, sementara itu 4 bukanlah bilangan prima karena hasilkalinya (




2
×


2


{\displaystyle 2\times 2}



), dimana kedua bilangan lebih kecil dari 4. Bilangan prima merupakan episode anak kunci bermula teori predestinasi karena menyertakan teorema sumber akar aritmetika: setiap ketentuan asli lebih besar berasal 1 adalah suratan prima itu seorang maupun dapat difaktorkan laksana hasil mana tahu tunggal sampai urutannya.

Rasam-sifat nan menjadikan bilangan prima disebut
primalitas. Metode sederhana hanya lambat yang memeriksa primalitas bakal bilangan




n


{\displaystyle kaki langit}



, disebut pembagian percobaan. Metode ini menguji apakah




n


{\displaystyle ufuk}




kelipatan dari suatu bilangan bulat antara




2


{\displaystyle 2}




dan






n




{\displaystyle {\sqrt {cakrawala}}}



. Algoritma makin cepatnya yaitu uji primalitas Miller–Rabin, algoritma cepat namun memiliki kesempatan galat boncel; dan uji primalitas Agrawal–Kayal–Saxena, algoritma yang selalu memberikan solusi yang benar privat musim polinomial, sahaja adv amat lambat bila dipraktekkan. Metode cepat khususnya tersedia n domestik bilangan bentuk partikular, seperti bilangan Mersenne. Sampai sreg Desember 2018, bilangan prima terbesar yang diketahui yaitu garis hidup prima Mersenne dengan 24.862.048 digit.[1]

Sekitar 300 SM, Euklides menguraikan bahwa terserah bukan berhingga banyaknya bilangan prima. Tak ada rumus sederhana yang memisahkan bilangan prima berusul predestinasi komposit. Akan sahaja, selebaran garis hidup prima dalam total bilangan asli yang terlampau banyak dapat digambar secara statistik. Hasil pertama sebaran bilangan prima tersebut mengarah pada teorema bilangan prima, nan dibuktikan pada akhir abad ke-19. Teorema ini mengatakan kodrat terbesar yang dipilih secara acak menjadi ketentuan prima berbanding menjempalit dengan jumlah digitnya, yakni logaritma.

Sejumlah kelainan-komplikasi bersejarah yang mengikutsertakan bilangan prima masih belum terpecahkan. Penyakit di antaranya konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bundar bertambah samudra berpunca 2 dapat dibentuk perumpamaan jumlah dua bilangan prima, dan konjektur qada dan qadar prima kembar, menyatakan bahwa cak semau tak berhingga banyaknya kebalikan kadar prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Penyakit-masalah tersebut mendorong peluasan majemuk cabang dalam teori bilangan, nan titik api pada aspek bilangan analitik atau bilangan aljabar. Dalam spirit sehari-hari, ganjaran prima dipakai privat teknologi warta, seperti mana kriptografi kunci publik, yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor garis hidup prima. Dalam aljabar kamil, incaran yang umumnya berperilaku seumpama garis hidup prima di antaranya elemen bilangan prima dan ideal kodrat prima.

Definisi dan paradigma

[sunting
|
sunting sumur]

Bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, dst.) dapat dikatakan garis hidup prima jikalau bilangan asli bertambah osean bermula 1 dan enggak dapat ditulis sebagai hasil kelihatannya bilangan murni nan lebih boncel. Kadar asli nan lebih dari 1, namun bukan merupakan bilangan prima disebut predestinasi konglomerasi.[2]
Dengan prolog lain,




n


{\displaystyle ufuk}




dikatakan bilangan prima jika terdapat




n


{\displaystyle n}




benda tak dapat dibagi menjadi kerubungan dengan total yang separas, yang terdiri dari suatu benda.[3]
Bilangan prima juga diilustrasikan laksana susunan




n


{\displaystyle ufuk}




noktah menjadi persegi tahapan yang sintal dan tingginya bertambah dari satu titik.[4]
Misalnya, ganjaran di antara 1 sampai 6, bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5;[5]
karena tidak suka-suka suratan lain nan membagi ketiga predestinasi tersebut sonder adanya sisa. 1 bukan suratan prima, karena yaitu pengecualian yang khusus kerumahtanggaan definisi di atas. 4 = 2 × 2 dan 6 = 2 × 3 yaitu predestinasi komposit.

Gambaran melangkaui jenazah Cuisenaire bahwa 7 adalah bilangan prima. Karena 2, 3, 4, 5, atau 6 yang tidak boleh memberi 7 secara merata.

Pembagi bilangan asli




t


{\displaystyle n}




adalah kadar polos yang membagi




falak


{\displaystyle n}




sama rata. Pembagi pada setiap ketentuan tulen tersebut adalah 1 dan dirinya sendiri. Jika




n


{\displaystyle kaki langit}




memiliki pembagi lain, maka




falak


{\displaystyle n}




bukanlah qada dan qadar prima. Gagasan ini merujuk ke sebuah definisi bilangan prima yang farik namun ekuivalen: terwalak ketentuan setidaknya dua pembagi takdir positif, 1 dan dirinya sendiri.[6]
Terserah cara lain kerjakan menjelaskan hal tersebut, yaitu:




cakrawala


{\displaystyle n}




adalah bilangan prima jika




n


{\displaystyle kaki langit}




makin besar dari 1 dan bukan cak semau bilangan




2
,
3
,



,
n



1


{\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}




yang membagi




n


{\displaystyle n}




setinggi rata.[7]

Berikut adalah 25 bilangan prima permulaan (semua predestinasi prima yang kian kecil berbunga 100):[8]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (barisan
A000040
pada OEIS).

Bukan ada bilangan genap




n


{\displaystyle horizon}




yang lebih samudra dari 2 adalah bilangan prima karena bilangannya boleh dibentuk bak hasil mungkin




2
×




n
2




{\textstyle 2\times {\frac {kaki langit}{2}}}



. Karena itu, setiap bilangan prima selain dari 2 merupakan bilangan ganjil, dan bilangan tersebut disebut
kodrat prima ganjil.[9]
Ketika ditulis kerumahtanggaan sistem desimal biasa dengan cara yang serupa, semua ketentuan prima yang lebih osean dari 5 berjauhan dengan digit satuan 1, 3, 7, atau 9. Suratan yang berjauhan dengan digit asongan nan berlainan adalah bilangan konglomerasi: bilangan desimal yang digit satuannya adalah 0, 2, 4, 6, ataupun 8 yaitu ganjaran genap, dan ganjaran desimal yang berakhir dengan digit runcitruncit 0 dan 5 sangat dibagi 5.[10]

Antologi kadar prima adakalanya dilambangkan





P



{\displaystyle \mathbf {P} }




[11]
atau





P



{\displaystyle \mathbb {P} }



.[12]

Sejarah

[sunting
|
sunting sumber]

Papirus Matematika Rhind

Papirus Matematika Rhind bersumber sekitar tahun 1550 SM, memiliki ekstensi retakan Mesir dalam tulangtulangan yang berbeda untuk bilangan prima dan bilangan komposit.[13]
Hanya, catatan memori pertama kali nan mempelajari predestinasi prima dengan eksplisit berasal dari matematika Yunani kuno..
Elemen
bersumber Euklides (300 SM) membuktikan takdir prima enggak-setakat dan teorema dasar aritmetika, dan menunjukkan cara membuat bilangan hipotetis mulai sejak prima Mersenne.[14]
Reka cipta Yunani lainnya yaitu pengayak Eratosthenes masih digunakan untuk memformulasikan daftar ketentuan prima.[15]
[16]

Sekitar 1000 M, matematikawan Selam Ibn al-Haytham (Alhazen) menemukan teorema Wilson dengan mencirikan bilangan prima seumpama garis hidup




n


{\displaystyle n}




yang memberi rata




(
n



1
)
!
+
1


{\displaystyle (lengkung langit-1)!+1}



. Beliau juga menduga bahwa semua bilangan cermin genap berasal dari bangunan Euklides yang menggunakan ganjaran prima Mersenne, hanya tidak dapat membuktikannya.[17]
Matematikawan Islam lainnya, Ibn al-Banna’ al-Marrakushi mencerca bahwa pitas Eratosthenes boleh dipercepat dengan menguji hanya pembagi setakat akar tunggang kuadrat semenjak bilangan terbesar yang akan diuji. Fibonacci mengapalkan inovasi berbunga matematika Selam pun ke Eropa.
Liber Abaci
(1202) intern bukunya yang pertama mendeskripsikan pembagian percobaan cak bagi menguji primalitas, sekali pula menggunakan pembagi hanya akar kuadrat hingga.[16]

Puas 1640, Pierre de Fermat menyatakan teorema kecil Fermat minus bukti, nan kemudian dibuktikan oleh Leibniz dan Euler.[18]
Fermat sekali lagi menyelidiki primalitas dari bilangan Fermat





2


2

n




+
1


{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}



,[19]
dan Marin Mersenne mempelajari prima Mersenne, bilangan prima berbunga bentuk





2

p





1


{\displaystyle 2^{p}-1}




dengan




p


{\displaystyle p}




sendiri yaitu takdir prima.[20]
Dalam sertifikat tahun 1742 bagi Euler, Christian Goldbach merumuskan konjektur Goldbach, bahwa setiap takdir genap ialah jumlah dari dua suratan prima.[21]
Euler membuktikan konjektur Alhazen (yang waktu ini disebut teorema Euklides–Euler) bahwa semua bilangan transendental genap dapat dibangun dari garis hidup prima Mersenne.[14]
Engkau memperkenalkan metode berpunca analisis matematis ke cagak ini dalam bukti ketakterhinggaan bilangan prima dan kedivergenan jumlah imbang-bengot predestinasi prima







1
2



+



1
3



+



1
5



+



1
7



+



1
11



+





{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }



.[22]
Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa ketika




x


{\displaystyle x}




menuju ke takhingga, jumlah bilangan prima hingga




x


{\displaystyle x}




asimptotik ke







x

log



x






{\displaystyle {\tfrac {x}{\log x}}}



, dimana




log



x


{\displaystyle \log x}




melambangkan logaritma natural dari




x


{\displaystyle x}



. Versi rengsa postulat Bertrand yang mengatakan bahwa untuk setiap



n
>
1


{\displaystyle kaki langit>1}






horizon


{\displaystyle ufuk}




dan




2
n


{\displaystyle 2n}



, dibuktikan makanya Pafnuty Chebyshev pada periode 1852.[23]
Gagasan Bernhard Riemann privat makalahnya perian 1859 adapun kelebihan zeta menggambarkan sebuah garis raksasa dalam membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Walaupun gagasannya yang berkaitan dengan premis Riemann masih belum terselesaikan, tetapi garis osean Riemann diselesaikan maka itu Hadamard dan de la Vallée Poussin lega tahun 1896, dan hasilnya detik ini dikenal laksana teorema bilangan prima.[24]
Hasil penting lainnya plong abad ke-19 adalah teorema Dirichlet mengenai barisan aritmetika, tentara aritmetika pasti memuat lain berhingga banyaknya bilangan prima.[25]

Beberapa matematikawan sudah lalu melakukan uji primalitas bakal bilangan lebih lautan berusul predestinasi penerapan uji pendistribusian. Metode yang mewatasi rangka bilangan khusus di antaranya uji Pépin cak bagi qada dan qadar Fermat (1877),[26]
teorema Proth (sekitar 1878),[27]
uji primalitas Lucas–Lehmer (berasal dari 1856), dan uji primalitas Lucas rampat.[28]

Sejak tahun 1951, semua takdir prima terbesar yang diketahui telah ditemukan menggunakan uji ini plong komputer jinjing.[a]
Penguberan bilangan prima besar telah membangkitkan minat sreg asing lingkaran matematika, melalui Great Internet Mersenne Prime Search dan proyek komputasi distribusi lainnya.[8]
[30]
Gagasan bahwa bilangan prima memiliki sejumlah penerapan diluar ilmu hitung safi,[b]
selingkung tahun 1970-an ketika kriptografi kancing publik dan RSA sistem kripto ditemukan dengan memperalat bilangan prima sebagai basisnya.[33]

Meningkatnya kepentingan praktis mulai sejak pengujian dan faktorisasi primalitas terkomputerisasi menyebabkan pengembangan metode menjadi makin baik yang kaya menangani sejumlah besar tulang beragangan ketakhinggaan.[15]
[34]
[35]
Teori ilmu hitung bilangan prima juga terus berkembang dengan teorema Green-Tao (2004) bahwa bala aritmetika panjang nan cenderung dari suratan prima, dan pembuktian puas tahun 2013 Yitang Zhang bahwa memiliki banyak uji celah prima ketakhinggaan.[36]

Primalitas berbunga 1

[sunting
|
sunting sumber]

Hampir seluruh matematikawan Yunani kuno bahkan tidak menganggap 1 perumpamaan bilangan,[37]
[38]
sehingga mereka tidak menganggap primalitas. Beberapa matematikawan puas rasi ini juga menganggap bilangan prima merupakan subpembagian bilangan ganjil, sehingga mereka menganggap 2 bukanlah qada dan qadar prima. Namun, Euklides dan sebagian lautan matematikawan Yunani lainnya menganggap 2 andai kodrat prima. Sebagian besar matematikawan Selam pada abad pertengahan mengajuk penglihatan matematikawan Yunani bahwa 1 bukanlah sebuah ketentuan.[37]
Puas masa abad pertengahan dan periode Reinsans, para matematikawan mulai memperlakukan 1 umpama bilangan, dan ada pula bermula mereka memperlakukan 1 sebagai bilangan prima pertama.[39]
Dalam suratnya buat Leonhard Euler pada pertengahan abad ke-18, Christian Goldbach menganggap 1 umpama qada dan qadar prima;
namun Euler tidak.[40]
Pada abad ke-19, banyak para matematikawan masih menganggap 1 sebagai bilangan prima,[41]
dan yang memuat 1 andai daftar bilangan prima terus diterbitkan setakat periode 1956.[42]
[43]

Jika definisi ganjaran prima mengatakan bahwa 1 yakni ganjaran prima, maka banyak pernyataan yang melibatkan ketentuan prima akan ditulis ulang dalam kaidah yang aneh. Sebagai hipotetis, teorema asal aritmetika akan perlu ditulis ulang n domestik bentuk faktorisasi menjadi bilangan prima lebih besar berusul 1, karena setiap bilangan mempunyai banyak kelipatan dengan jumlah salinan dari 1 yang berbeda.[41]
Mirip dengan contoh sebelumnya, saringan Eratosthenes bukan akan berkreasi dengan benar jika saringan tersebut memperlakukan 1 sebagai sebuah bilangan prima, karena saringan Eratosthenes akan mengeliminasi semua kelipatan 1 (yaitu semua bilangan lainnya) dan menerimakan hasil sahaja satu bilangan namun, yaitu 1.[43]
Ada beberapa sifat bilangan prima lebih teknis yang juga tak berlaku untuk 1, sebagai arketipe rumus fungsi phi Euler maupun kemujaraban jumlah pembagi berbeda buat bilangan prima dengan 1 yang didefinisikan andai bilangan prima.[44]
Pada tadinya abad ke-20, para matematikawan mulai menyetujui bahwa 1 enggak ditulis sebagai garis hidup prima, melainkan dikategorikan solo bak “runcitruncit”.[41]

Sifat-sifat dasar

[sunting
|
sunting sumur]

Faktorisasi tunggal

[sunting
|
sunting sumber]

Suatu garis hidup dapat ditulis bagaikan hasil bisa jadi qada dan qadar prima disebut
faktorisasi bilangan prima. Misalnya:









34886



=
2



3



3



13



149






=
2




3

2





13



149






{\displaystyle {\begin{aligned}34886&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149\end{aligned}}}



Bentuk yang ditulis dalam hasil kali disebut
faktor bilangan prima. Faktor ketentuan prima yang sama seringkali unjuk makin dari satu. Contoh di atas mempunyai dua salinan faktor takdir prima




3


{\displaystyle 3}



. Detik sebuah predestinasi prima sering muncul berkali-kali, eksponen boleh dipakai untuk mengumpulkan salinan faktor bilangan prima. Misalnya, kerumahtanggaan menulis hasil kali di atas, adalah puas barisan kedua,





3

2




{\displaystyle 3^{2}}




dilambangkan laksana tiga pangkat dua.

Pentingnya bilangan prima intern teori bilangan dan matematika biasanya dari dari
teorema dasar aritmetika.[45]
Teorema ini mengatakan bahwa setiap suratan melingkar yang lebih osean dari 1 dapat ditulis sebagai hasil mana tahu bersumber suatu ketentuan prima atau makin. Makin lanjur, hasil kalinya adalah tunggal dalam artian bahwa dua faktorisasi bilangan prima dari bilangan yang sama akan punya total salinan yang sama berasal bilangan prima yang setolok meski urutannya berbeda.[46]
Walaupun ada banyak cara mengejar faktorisasi melalui algoritma faktorisasi bilangan bulat, hasil yang diperoleh yakni sama. Jadi, bilangan prima boleh dianggap sebagai “satuan dasar” bilangan asli.[47]

Bukti-bukti mengenai ketunggalan faktorisasi takdir prima dijelaskan melalui lema Euklides: Kalau




p


{\displaystyle p}




bilangan prima dan




p


{\displaystyle p}




membagi hasil mungkin




a
b


{\displaystyle ab}




(dimana




a


{\displaystyle a}




dan




b


{\displaystyle b}




qada dan qadar buntar), maka




p


{\displaystyle p}




memberi




a


{\displaystyle a}




ataupun




p


{\displaystyle p}




membagi




b


{\displaystyle b}




(atau membagi keduanya).[48]
Sebaliknya, jika




p


{\displaystyle p}




memiliki sifat saat dibagi hasil kalinya (




p


{\displaystyle p}




kerap membagi sekurang-kurangnya salah satu dari faktor hasil kali tersebut), maka




p


{\displaystyle p}




haruslah ganjaran prima.[49]

Ketakterhinggaan

[sunting
|
sunting sumber]

Ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Dengan prolog lain, barisan suratan prima

2, 3, 5, 7, 11, 13, …

tidak pernah bubar. Karena pertama kali yang membuktikan pernyataan ini adalah Euklides, pernyataan tersebut disebut teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani Kuno Euklides. Masih ada bukti mengenai ketakterhinggaan bilangan prima, diantaranya: bukti analitik maka itu Euler, bukti Goldbach berdasarkan predestinasi Fermat,[50]
bukti Furstenberg melintasi topologi umum,[51]
dan bukti elegan Kummer.[52]

Bukti Euler[53]
menunjukkan bahwa setiap daftar kadar prima terhingga belum arketipe. Kunci utamanya merupakan mengalikan predestinasi prima pada daftar tertentu dan ditambah




1


{\displaystyle 1}



. Takdirnya terdiri berusul bilangan prima





p

1


,

p

2


,



,

p

n




{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}



, maka





T
=
1
+

p

1






p

2






p

n




{\displaystyle T=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{falak}}



.

Menurut teorema dasar aritmetika,




Cakrawala


{\displaystyle N}




memiliki faktorisasi ketentuan prima yang faktornya berjumlah satu atau makin.





N
=

p

1







p

2







p

m





{\displaystyle Kaki langit=p’_{1}\cdot p’_{2}\cdots p’_{m}}







Falak


{\displaystyle T}




dibagi dulu secara merata oleh setiap faktor-faktor tersebut, tetapi




N


{\displaystyle N}




mempunyai sisa yaitu satu saat dibagi makanya satu bilangan prima plong daftar tertentu sehingga enggak ada faktor predestinasi prima




N


{\displaystyle N}




yang terdapat sreg daftar tersebut. Karena tidak ada daftar bilangan prima terhingga, maka pasti ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.

Kodrat yang dibentuk dengan menambahkan 1 pada hasil kali dari ketentuan prima terkecil disebut ganjaran Euklides.[54]
Lima bilangan pertama adalah bilangan prima, tetapi yang keenam,





1
+


(


2



3



5



7



11



13


)


=
30031
=
59



509


{\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509}



,

yakni bilangan agregat.

Rumus kerjakan bilangan prima

[sunting
|
sunting sumber]

Tidak ada rumus cepat yang diketahui lakukan bilangan prima. Contoh, bukan ada polinomial takkonstan, sampai-sampai internal beberapa variabel, nan
hanya
memakai angka bilangan prima.[55]
Doang, suka-suka banyak bagan rumus yang mengodekan semua bilangan prima, atau cuma bilangan prima. Ada rumus yang dapat didasari lega teorema Wilson, dan rumus tersebut menghasilkan 2 berkali-kelihatannya dan kotoran garis hidup prima dihasilkan sekali.[56]
Adapula himpunan pertepatan Diophantus dalam sembilan lentur dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter ialah garis hidup prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan merupakan solusi ketentuan asli. Hal tersebut boleh dipakai untuk memperoleh rumus distingtif dengan sifat bahwa semua nilai
faktual
adalah qada dan qadar prima.[57]

Acuan rumus yang menghasilkan predestinasi prima lainnya berasal dari teorema Mills dan teorema Wright. Rumus ini mengatakan bahwa terdapat satu konstanta sungguhan



A
>
1


{\displaystyle A>1}






μ




{\displaystyle \mu }




sehingga








A


3

n








{\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }




dan







2







2


2

μ














{\displaystyle \left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }



adalah bilangan prima lakukan suatu ganjaran kudus




falak


{\displaystyle n}




privat rumus yang purwa, dan suatu kadar eksponen dalam rumus yang kedua.[58]

















{\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }




merepresentasikan kepentingan bilangan buntar terbesar. Akan tetapi, rumus-rumus tersebut bukan dapat digunakan bagi menghasilkan bilangan prima, karena qada dan qadar prima harus dihasilkan lebih-lebih silam agar memperoleh poin




A


{\displaystyle A}




atau




μ




{\displaystyle \mu }



.

Tanya terbuka

[sunting
|
sunting sumber]

Banyak konjektur yang melibatkan takdir prima telah diajukan. Seringkali mempunyai perumusan pangkal, banyak konjektur-konjektur tersebut punya bukti nan bertahan selama bilang sepuluh tahun: empat masalah Landau nan berasal dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.[59]
Salah satu masalah Landau adalah konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap kodrat bulat genap




n


{\displaystyle n}




lebih besar semenjak 2 dapat ditulis sebagai jumlah pecah dua ketentuan prima.[60]
Hingga puas 2014, konjektur ini telah dibenarkan untuk semua ketentuan sampai




n
=
4




10

18




{\displaystyle tepi langit=4\cdot 10^{18}}



.[61]
Pernyataan nan makin lunglai dari konjektur tersebut telah dibuktikan seperti: teorema Vinogradov nan mengatakan bahwa setiap suratan bulat ganjil nan pas besar dapat ditulis bagaikan kuantitas mulai sejak tiga bilangan prima,[62]
teorema Chen nan mengatakan bahwa setiap kadar genap nan cukup besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari ketentuan prima dan semiprima (hasil barangkali dari dua ketentuan prima),[63]
serta suatu ketentuan buntak genap yang bertambah besar dari 10 bisa ditulis laksana jumlah dari enam bilangan prima.[64]
Cabang teori qada dan qadar nan mempelajari kebobrokan tersebut disebut teori kodrat aditif.[65]

Aturan-sifat analitik

[sunting
|
sunting sumber]

Teori bilangan analitik adalah studi cabang teori qada dan qadar yang berfokus mengenai fungsi membenang, limit, ririt takhingga, dan kaitan matematika tentang takhingga dan infinitesimal.

Cabang ini dimulai dengan Leonhard Euler yang menemukan solusi dari masalah yang sangat penting, yaitu keburukan Basel. Masalah ini menanyakan berapakah poin dari deret takhingga




1
+



1
4



+



1
9



+



1
16



+



,


{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}




dan nilai deret saat ini dapat dianggap sebagai poin




ζ


(
2
)


{\displaystyle \zeta (2)}




(dimana




ζ




{\displaystyle \zeta }




adalah fungsi zeta Riemann). Fungsi ini sangat terkait rapat persaudaraan dengan bilangan prima dan keistimewaan ini yaitu salah satu keburukan nan belum terpecahkan yang dahulu penting dalam matematika, hipotesis Riemann. Euler menunjuk-nunjukkan bahwa




ζ


(
2
)
=



π



2


6




{\textstyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}



.[66]
Kebalikannya,







6

π



2







{\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}}



, merupakan probabilitas had nan menyatakan bahwa dua garis hidup acak dipilih secara seragam semenjak kisaran relatif prima yang besar (relatif prima berharga tidak memiliki kesamaan faktor).[67]

Sebaran bilangan prima masih dicari, seperti pertanyaan yang menanyakan berapa banyak takdir prima yang makin boncel dari sebuah batas yang lebih besar dijelaskan melangkaui teorema bilangan prima, namun rumus efisien ketentuan prima ke-




t


{\displaystyle n}




belum diketahui. Teorema Dirichlet tentang armada aritmetika, kerumahtanggaan tulangtulangan asal, mengatakan bahwa polinomial linear





p
(
falak
)
=
a
+
b
horizon


{\displaystyle p(n)=a+bn}



dengan




a


{\displaystyle a}




dan




b


{\displaystyle b}




ubah relatif prima mengambil tak berhingga banyaknya nilai kadar prima. Rajah teorema nan makin kuat mengatakan bahwa jumlah timbal mengsol dari skor bilangan prima tersebut adalah divergen, dan bahwa polinomial linear nan berbeda dengan




b


{\displaystyle b}




yang sama sangkil-tebak seperti mana rasio bilangan prima yang sama. Walaupun konjektur tersebut dirumuskan mengenai perbandingan ketentuan prima internal polinomial berderajat tinggi, konjektur tersebut masih belum terpecahkan, dan belum diketahui adakah polinomial kuadratik bahwa (bakal nilai-biji bilangan bulat) merupakan sering tak berhingga bilangan prima.

Bukti analitik teorema Euklides

[sunting
|
sunting sumber]

Bukti Euler yang mengatakan ada tidak berhingga banyaknya suratan prima belinjo total dari timbal-erot bilangan prima,







1
2


+


1
3


+


1
5


+


1
7


+



+


1
p




{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}}



.

Euler memperlihatkan bahwa kerjakan suatu




x


{\displaystyle x}




bilangan real rambang, terdapat ketentuan prima




p


{\displaystyle p}




yang jumlahnya bertambah segara dari




x


{\displaystyle x}



.[68]
Bukti tersebut ogok bahwa suka-suka lain berhingga banyaknya bilangan prima. Karena seandainya terdapat berhingga banyaknya predestinasi prima, maka jumlahnya akan mengaras nilai maksimum di bilangan prima terbesar daripada naik melintasi setiap





x


{\displaystyle x}




. Laju pertumbuhan dari kuantitas ini digambarkan melalui teorema kedua Mertens.[69]
Bandingkan total







1

1

2




+


1

2

2




+


1

3

2




+



+


1

n

2






{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}



,

nan tak menaiki menuju takhingga ketika




tepi langit


{\displaystyle n}




menuju takhingga (lihat penyakit Basel). Ini berarti, predestinasi prima berulangulang muncul daripada garis hidup asli yang dikuadratkan biarpun kedua himpunan adalah takhingga.[70]
Teorema Brun menyatakan bahwa jumlah timbal-genyot bilangan prima kembar,






(



1
3


+


1
5



)

+

(



1
5


+


1
7



)

+

(



1
11


+


1
13



)

+





{\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }



,

ialah terukur. Karena teorema Brun, bukti di atas tidak dapat menunggangi metode Euler buat menyelesaikan bilangan prima kembar, yang ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.[70]

Jumlah bilangan prima di bawah had tertentu

[sunting
|
sunting mata air]

Galat nisbi dari







falak

log



n






{\displaystyle {\tfrac {n}{\log tepi langit}}}




dan terstruktur logaritmik




Li



(
n
)


{\displaystyle \operatorname {Li} (kaki langit)}




adalah aproksimasi fungsi penghitungan takdir prima. Detik




n


{\displaystyle n}




membesar, kedua galat relatif tersebut menurun ke nol, tetapi lakukan terintegrasi logaritmik, konvergensi ke hampa semakin cepat.

Fungsi pencacahan bilangan prima




π


(
kaki langit
)


{\displaystyle \pi (n)}




didefinisikan sebagai jumlah ketentuan prima yang lebih mungil dari




n


{\displaystyle horizon}



.[71]
Contohnya,




π


(
11
)
=
5


{\displaystyle \pi (11)=5}



, karena ada lima takdir prima nan lebih kecil atau begitu juga 11 (yakni 2, 3, 5, 7, 11). Metode seperti algoritma Meissel–Lehmer dapat cak menjumlah biji eksak




π


(
n
)


{\displaystyle \pi (n)}




lebih cepat daripada batik setiap bilangan prima sampai dengan




lengkung langit


{\displaystyle t}



. Teorema predestinasi prima menyatakan bahwa




π


(
n
)


{\displaystyle \pi (kaki langit)}




asimtotik dengan







n

log



horizon






{\displaystyle {\tfrac {n}{\log horizon}}}



. Teorema ini ditulis sebagai





π


(
n
)





n

log



n





{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {ufuk}{\gelondong n}}}



.

Ini berarti bahwa rasio




π


(
lengkung langit
)


{\displaystyle \pi (horizon)}




terhadap pecahan di ruas kanan condong 1 momen




tepi langit


{\displaystyle kaki langit}




menuju takhingga.[72]
Teorema ini menyiratkan bahwa probabilitas bilangan yang makin kecil dari




n


{\displaystyle kaki langit}




yang dipilih secara acak adalah kadar prima, sangka-kira berbanding menjengkelit dengan jumlah digit




lengkung langit


{\displaystyle tepi langit}



.[73]
Teorema ini juga menyiratkan bahwa bilangan prima ke-




n


{\displaystyle n}




sejajar dengan




lengkung langit
log



n


{\displaystyle lengkung langit\log n}



,[74]
dan demikian bahwa matra rata-rata dari celah qada dan qadar prima seimbang dengan




log



falak


{\displaystyle \batang kayu kaki langit}



.[75]
Pendekatan makin akuratnya yaitu




π


(
horizon
)


{\displaystyle \pi (tepi langit)}




sebanding dengan integral logaritmik Euler[72]





π


(
t
)



Li



(
falak
)
=





2


cakrawala






d

t


batang kayu



t





{\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (kaki langit)=\int _{2}^{n}{\frac {\mathrm {d} lengkung langit}{\log t}}}



.

Barisan aritmetika

[sunting
|
sunting sumber]

Barisan aritmetika ialah barisan takdir nan hingga alias takhingga sehingga kodrat berurutan n domestik barisan tersebut memiliki beda ataupun tikai yang ekuivalen.[76]
Selisih barisan aritmetika disebut modulus barisan.[77]
Misalnya,





3
,
12
,
21
,
30
,
39
,
.
.
.


{\displaystyle 3,12,21,30,39,…}



,

ialah barisan aritmetika takhingga dengan modulus 9. Dalam angkatan aritmetika, semua kadar punya sisa yang sepadan detik dibagi oleh modulus. Abstrak di atas, sisanya yaitu 3. Karena modulus yakni 9 dan sisanya merupakan kelipatan 3, dan semacam itu pun untuk setiap anggota pada barisan tersebut. Karena itu, angkatan tersebut mempunyai suatu suratan prima, yakni 3. Pada galibnya, angkatan takhingga





a
,
a
+
q
,
a
+
2
q
,
a
+
3
q
,





{\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }



dapat memiliki bilangan prima yang lebih dari suatu ketika tahi




a


{\displaystyle a}




dan modulus




q


{\displaystyle q}




nisbi prima. Jika




a


{\displaystyle a}




dan




q


{\displaystyle q}




relatif prima, teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika mengatakan bahwa barisan memuat tak terhingga banyaknya bilangan prima.[78]

Prime numbers in arithmetic progression mod 9.

Bilangan prima intern angkatan aritmetika merupakan modulo 9. Setiap baris dari pita horizontal nan tipis memperlihatkan salah satu dari sembilan armada yang modulo 9 nan mungkin, dengan bilangan prima ditandai berwarna merah. Barisan takdir yaitu 0, 3, atau 6 mod 9 memuat sedikitnya satu bilangan prima (yaitu 3); feses barisan predestinasi yaitu 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 mempunyai enggak berhingga banyaknya bilangan prima, dengan bilangan prima yang serupa pada masing-masing barisan

Teorema Green–Tao memperlihatkan bahwa ada barisan aritmetika sampai panjang sembarang yang sekadar terdiri berusul bilangan prima.[79]
[80]

Dalam aljabar abstrak

[sunting
|
sunting perigi]

Aritmetika modular dan medan berhingga

[sunting
|
sunting sendang]

Aritmetika modular memodifikasi aritmetika biasa, hanya saja dengan menggunakan bilangan




{

,
1
,
2
,



,
ufuk



1
}


{\displaystyle \{0,1,2,\dots ,ufuk-1\}}




bagi ganjaran nirmala




n


{\displaystyle horizon}




yang disebut modulus. Garis hidup suci lainnya bisa dipetakan ke intern sistem ini dengan menggantinya dengan sisa pasca- pembagian dengan




horizon


{\displaystyle n}



.[81]
Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil pembilangan, pengurangan, ataupun perkalian bilangan bundar.[82]
Kesamaan suratan melingkar sesuai dengan
kongruensi
dalam aritmetika modular:




x


{\displaystyle x}




dan




y


{\displaystyle y}




ialah kongruen (ditulis




x



y


{\displaystyle x\equiv y}




mod




n


{\displaystyle kaki langit}



) momen mereka mempunyai kotoran yang sama setelah dibagi dengan




tepi langit


{\displaystyle tepi langit}



.[83]
Namun, kerumahtanggaan sistem bilangan ini, pembagian dengan semua predestinasi bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya merupakan prima. Misalnya, dengan predestinasi prima




7


{\displaystyle 7}




perumpamaan modulus, pengalokasian dengan




3


{\displaystyle 3}




yakni dimungkinkan:




2

/

3



3

mod

7




{\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}




karena kemungkinan menghapus penyebut dengan mengalikan kedua ruas dengan




3


{\displaystyle 3}




diberikan rumus yang andal




2



9

mod

7




{\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}



. Sahaja, dengan modulus agregat




6


{\displaystyle 6}



, pencatuan dengan




3


{\displaystyle 3}




adalah hal mustahil. Tidak cak semau solusi yang kredibel bikin




2

/

3



x

mod

6




{\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}



: menyetip penyebut dengan mengalikan dengan




3


{\displaystyle 3}




menyebabkan ruas kiri menjadi




2


{\displaystyle 2}




sedangkan ruas kanan menjadi







{\displaystyle 0}




atau




3


{\displaystyle 3}



. Dalam terminologi aljabar abstrak, kemampuan bikin melakukan pencatuan penting bahwa modulo aritmatika modular bilangan prima membentuk medan ataupun medan berhingga, sedangkan modulus lainnya belaka mengasihkan panggung namun bukan sebuah medan.[84]

Sejumlah teorema tentang ganjaran prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, teorema kecil Fermat menyatakan bahwa takdirnya




a




{\displaystyle a\not \equiv 0}




(mod




p


{\displaystyle p}



), maka





a

p



1





1


{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}




(mod




p


{\displaystyle p}



).[85]
Menjumlahkan dari semua saringan




a


{\displaystyle a}




diberikan pertepatan










a
=
1


p



1



a

p



1





(
p



1
)



1






1


(
mod

p
)

,


{\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}



meyakinkan jika




p


{\displaystyle p}




merupakan qada dan qadar prima. Konjektur Giuga menamakan bahwa persamaan ini sekali lagi yaitu syarat nan cukup untuk




p


{\displaystyle p}




menjadi prima.[86]
Teorema Wilson mengistilahkan bahwa sebuah bilangan buntak



p
>
1


{\displaystyle p>1}






(
p



1
)
!


{\displaystyle (p-1)!}




kongruen dengan







1


{\displaystyle -1}




mod




p


{\displaystyle p}



. Cak bagi
garis hidup





cakrawala
=
r



s



{\displaystyle \;falak=r\cdot s\;}





ini tak berlaku, karena pelecok satu faktornya membagi
ufuk
dan




(
ufuk



1
)
!


{\displaystyle (n-1)!}



, dan jadi




(
n



1
)
!






1


(
mod

n
)



{\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}




adalah hal mustahil.[87]

Bilangan
p-adik


[sunting
|
sunting sumur]

Sekaan




p


{\displaystyle p}



-adik





ν



p


(
n
)


{\displaystyle \nu _{p}(n)}




terbit sebuah ketentuan bulat




n


{\displaystyle ufuk}




adalah kuantitas salinan berpokok




p


{\displaystyle p}




dalam faktorisasi prima mulai sejak




n


{\displaystyle n}



. Konsep yang sejajar diperluas dari suratan bulat ke kadar rasional dengan mendefinisikan urutan




p


{\displaystyle p}



-adik berusul pecahan




m

/

n


{\displaystyle m/n}




menjadi





ν



p


(
m
)




ν



p


(
kaki langit
)


{\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}



. Nilai kahar




p


{\displaystyle p}



-adik





|

q


|


p




{\displaystyle |q|_{p}}




berpokok sembarang bilangan rasional




q


{\displaystyle q}




kemudian didefinisikan sebagai





|

q


|


p


=

p





ν



p


(
q
)




{\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}



. Mengalikan ganjaran buntar dengan nilai absolut




p


{\displaystyle p}



-adik-nya akan membatalkan faktor




p


{\displaystyle p}




privat faktorisasinya, dan hanya menyisakan takdir prima lainnya. Sama sebagai halnya jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan angka absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak




p


{\displaystyle p}



-adik-nya, skor despotis




p


{\displaystyle p}



-adik berpangkal selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua qada dan qadar dikatakan mepet (memiliki jarak nan katai) ketika selisihnya silam dibagi dengan pangkat




p


{\displaystyle p}




nan tinggi. Dengan cara yang proporsional bahwa suratan sungguhan bisa dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan ponten pembatas ekstra bakal membentuk medan konseptual, bilangan rasional dengan jarak




p


{\displaystyle p}



-adik diperluas ke bekas acuan nan berbeda.[88]
[89]

Belai pecah sebuah gambar, poin absolut, dan kancah lengkap nan diturunkan berbunga kodrat




p


{\displaystyle p}



-adik digeneralisasikan ke medan bilangan aljabar dan penilaian-penilaian tersebut (pemetaan tertentu berbunga Kancah grup perkalian ke grup aditif terurut total disebut juga sebagai gosokan), nilai absolut (pemetaan perbanyakan tertentu dari medan ke bilangan benaran disebut sekali lagi sebagai norma),[88]
dan wadah (ekstensi ke medan lengkap dimana medan yang diberikan ialah pusparagam rapat disebut juga sebagai pelengkapan).[90]
Perluasan berbunga kadar mantiki ke bilangan cak benar, misalnya ialah tempat dimana jarak antara bilangan merupakan nilai absolut biasa berusul perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi logaritma berpokok kredit kahar, meskipun ini tidak menepati semua persyaratan penilaian. Menurut teorema Ostrowski, gagasan seimbang alami berhingga, ketentuan betulan dan ketentuan




p


{\displaystyle p}



-adik dengan urutan dan skor absolutnya adalah suatu-satunya penilaian, kredit absolut, dan tempat pada bilangan rasional.[88]
Prinsip lokal-global memungkinkan masalah tertentu atas ketentuan rasional cak bagi diolah dengan menunggalkan solusi dari masing-masing bekas, sekali juga menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori qada dan qadar.[91]

Anggota garis hidup prima dalam medan

[sunting
|
sunting sumber]

Gelanggang komutatif ialah struktur aljabar dimana interpolasi, pengurangan dan perkalian didefinisikan. Kadar bulatnya merupakan sebuah gelanggang, dan kodrat prima privat predestinasi buntar sudah dirampat menjadi gelanggang melalui dua pendirian seperti
anggota bilangan prima
dan
anggota taktereduksi. Sebuah anggota




p


{\displaystyle p}




berbunga sebuah tempat




R


{\displaystyle R}




dikatakan bilangan prima jika




p


{\displaystyle p}




adalah bilangan taknol, tidak mempunyai invers pergandaan (yang berharga, wadah bukanlah sebuah unit), dan memenuhi syarat berikut: kalau




p


{\displaystyle p}




membagi hasil kali




x
y


{\displaystyle xy}




dari dua anggota




R


{\displaystyle R}



, maka




p


{\displaystyle p}




juga menjatah sekurang-kurangnya




x


{\displaystyle x}




ataupun




y


{\displaystyle y}



. Sebuah anggota adalah taktereduksi jikalau sebuah anggota tidak merupakan sebuah unit maupun hasil kali dari dua anggota takunit lainnya. Dalam bekas ganjaran bulat, anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi membentuk himpunan yang sama,





{



,



11
,



7
,



5
,



3
,



2
,
2
,
3
,
5
,
7
,
11
,



}

.


{\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}



Privat sebuah gelanggang rawak, semua anggota bilangan prima ialah taktereduksi. Kebalikannya tidak berlaku lega biasanya, namun berlaku untuk domain faktorisasi khusus.[92]

Teorema dasar aritmetika ki ajek berperan (menurut definisi) privat domain faktorisasi tunggal. Contoh mengenai domain faktorisasi unik adalah bilangan buntak Gauss





Z

[
i
]


{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}



, medan dari bilangan mania berbentuk




a
+
b
i


{\displaystyle a+bi}




dimana




i


{\displaystyle i}




menyatakan satuan imajiner,




a


{\displaystyle a}




dan




b


{\displaystyle b}




yakni ketentuan bulat sembarang. Anggota bilangan primanya dikenal sebagai bilangan prima Gauss. Tidak semua bilangan yang merupakan kodrat prima di antara bilangan bulat tegar merupakan bilangan prima dalam ketentuan bulat Gauss. Sebagai abstrak, bilangan 2 dapat ditulis misal hasil kali dari dua bilangan prima Gauss, yaitu




1
+
i


{\displaystyle 1+i}




dan




1



i


{\displaystyle 1-i}



. Bilangan prima rasional (anggota bilangan prima intern kadar bundar) kongruen dengan 3 mod 4 ialah suratan prima Gauss, namun bilangan prima konsekuen kongruen dengan 1 mod 4 lain garis hidup prima Gauss.[93]
Contoh tersebut yakni akibat dari teorema Fermat mengenai jumlah berpokok dua predestinasi kuadrat, nan mengatakan bahwa sebuah kadar prima gangsal




p


{\displaystyle p}




boleh dinyatakan laksana jumlah dari dua bilangan kuadrat,




p
=

x

2


+

y

2




{\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}



, dan demikian dapat difaktorkan sebagai




p
=
(
x
+
i
y
)
(
x



i
y
)


{\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}



, tepat ketika




p


{\displaystyle p}




kongruen dengan 1 mod 4.[94]

Ideal prima

[sunting
|
sunting sendang]

Bukan semua wadah merupakan ranah faktorisasi individual. Misalnya, dalam bilangan gelanggang




a
+
b





5




{\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}




(untuk bilangan bulat




a


{\displaystyle a}




dan




b


{\displaystyle b}



) biji




21


{\displaystyle 21}




memiliki dua faktorisasi




21
=
3



7
=
(
1
+
2





5


)
(
1



2





5


)


{\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}



, tidak satu pun mulai sejak keempat faktor tersebut dapat direduksi lebih jauh, sehingga tidak memiliki faktorisasi tunggal. Kerjakan memperluas faktorisasi unik sreg kelas gelanggang terbesar, gagasan tentang bilangan bisa diganti dengan ideal, sebuah pusparagam episode dari elemen gelanggang yang memuat semua total teman elemennya, dan semua hasil kali elemennya dengan unsur medan.
Contoh prima
yang dimana generalisasi anasir prima dalam arti bahwa ideal utama nan dihasilkan oleh atom prima adalah ideal prima adalah alat dan bulan-bulanan studi penting kerumahtanggaan aljabar komutatif, teori kadar aljabar dan geometri aljabar. Kamil prima berpokok gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), … Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke teorema Lasker–Noether disebutkan setiap ideal dalam arena komutatif Noetherian misal perpotongan ideal prima yang yakni pukul rata yang tepat mulai sejak prima kuasa.[95]

Radius kancah merupakan ruang geometris yang titik-titiknya yaitu kamil prima dari gelanggang tersebut.[96]
Geometri aritmetika pun mendapat faedah dari gagasan ini, dan banyak konsep yang suka-suka, baik n domestik geometri maupun teori ganjaran. Misalnya, faktorisasi atau percabangan dari ideal prima saat diangkat bagaikan gelanggang perpanjangan, masalah asal teori garis hidup aljabar memiliki beberapa kemiripan dengan percabangan dalam geometri. Konsep-konsep ini apalagi dapat membantu dalam pertanyaan teori bilangan nan semata-mata berkaitan dengan ketentuan bulat. Misalnya, lengkap prima dalam panggung bilangan melingkar dari medan bilangan kuadrat dapat digunakan bakal pendayagunaan ketimbalbalikan kuadrat, pernyataan nan menyangkut keberadaan akar tunggang kuadrat modulo bilangan prima kadar buntak.[97]
Upaya sediakala bikin membuktikan Teorema Anak bungsu Fermat menyebabkan pengenalan Kummer dari prima regular, bilangan prima ganjaran bulat terhubung dengan kegagalan faktorisasi solo pada predestinasi bulat siklotomi.[98]
Cak bertanya tentang berapa banyak bilangan prima ketentuan buntak faktor menjadi darab berusul beberapa cermin prima privat palagan bilangan aljabar ditangani oleh teorema kerapatan Chebotarev, yang (bila diterapkan pada predestinasi bulat siklotomi) mana memiliki teorema Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika andai kasus khusus.[99]

Teori grup

[sunting
|
sunting sumber]

Dalam teori grup hingga, teorema Sylow menyiratkan bahwa kalau perpangkatan bilangan prima





p

n




{\displaystyle p^{kaki langit}}




memberi tingkat grup, maka grup n kepunyaan subgrup tingkat





p

n




{\displaystyle p^{n}}



. Menurut teorema Lagrange, suatu grup tingkat qada dan qadar prima adalah grup siklik dan menurut teorema Burnside, suatu grup nan tingkatnya dibagi oleh dua bilangan prima merupakan grup teratasi.[100]

Garitan

[sunting
|
sunting sumur]


  1. ^

    Sebuah bilangan prima 44-digit yang ditemukan pada hari 1951 oleh Aimé Ferrier dengan mesin hitung mekanik tetap adalah bilangan prima terbesar nan tidak ditemukan dengan bantuan komputer elektronik.[29]

  2. ^

    Misalnya, Beiler menggambar bahwa ahli teori ganjaran Ernst Kummer menyukai bilangan ideal miliknya, nan terkait rapat persaudaraan dengan bilangan prima, “karena mereka tidak mengotori diri mereka dengan permintaan praktis segala pun”,[31]
    bahkan Katz menulis bahwa Edmund Landau yang dikenal karena karyanya tentang persebaran bilangan prima yaitu “loathed practical applications of mathematics” dan bikin alasan tersebut buat pergi subjek seperti geometri yang sudah terbukti berguna.[32]

Bacaan

[sunting
|
sunting sumber]


  1. ^


    “51st Known Mersenne Prime Discovered”.
    www.mersenne.org
    . Diakses tanggal
    21 Desember
    2018
    .





  2. ^


    Cahyo, Dhea Arokhman Yusufi (2020-05-10).
    Heuristic – For Mathematical Olympiad Approach. Math Heuristic. hlm. 18.





  3. ^


    Henderson, Anne (2014-06-20).
    Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide
    (dalam bahasa Inggris). Routledge. hlm. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.





  4. ^


    Adler, Irving (1960).
    The giant golden book of mathematics; exploring the world of numbers and space. Internet Archive. New York, Golden Press.





  5. ^


    Lawrence S. Leff (2000).
    Barron’s math workbook for the SAT I. Internet Archive. Barron’s. ISBN 978-0-7641-0768-9.





  6. ^

    Dudley, Underwood (1978). “Section 2: Unique factorization”.
    Elementary number theory
    (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. hlm. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.

  7. ^

    Sierpiński, Wacław (1988).
    Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library.
    31
    (2nd ed.). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
  8. ^


    a




    b




    Ziegler, Günter M. (2004). “The great prime number record races”.
    Notices of the American Mathematical Society.
    51
    (4): 414–416. MR 2039814.





  9. ^


    Stillwell, John (1997-10-30).
    Numbers and Geometry
    (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.





  10. ^

    Sierpiński, Wacław (1964).
    A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. hlm. 40. MR 0170843.

  11. ^


    Nathanson, Melvyn B. (2008-01-11).
    Elementary Methods in Number Theory
    (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Kendaraan. ISBN 978-0-387-22738-2.





  12. ^


    Faticoni, Theodore G. (2012-04-23).
    The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas
    (privat bahasa Inggris). John Wiley & Sons. hlm. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.





  13. ^

    Bruins, Evert Marie, review in
    Mathematical Reviews
    of
    Gillings, R.J. (1974). “The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?”.
    Archive for History of Exact Sciences.
    12
    (4): 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458.




  14. ^


    a




    b




    Stillwell, John (2010).
    Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. hlm. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.




  15. ^


    a




    b




    Pomerance, Carl (December 1982). “The Search for Prime Numbers”.
    Scientific American.
    247
    (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.




  16. ^


    a




    b




    Mollin, Richard A. (2002). “A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)”.
    Mathematics Magazine.
    75
    (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.





  17. ^

    John J. Ozon’Connor and Edmund F. Robertson.
    Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham
    di MacTutor archive.

  18. ^

    Sandifer 2007, 8. Fermat’s Little Theorem (November 2003), hal. 45

  19. ^


    Sandifer, C. Edward (2014).
    How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. hlm. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.





  20. ^


    Koshy, Thomas (2002).
    Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. hlm. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.





  21. ^


    Yuan, Wang (2002).
    Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics.
    4
    (edisi ke-2nd). World Scientific. hlm. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.





  22. ^


    Narkiewicz, Wladyslaw (2000). “1.2 Sum of Reciprocals of Primes”.
    The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. hlm. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.





  23. ^


    Tchebychev, P. (1852). “Mémoire sur les nombres premiers”
    (PDF).
    Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (privat bahasa Prancis): 366–390.



    . (Proof of the postulate: 371–382). Also see Mémoires de l’Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp. 15–33, 1854

  24. ^


    Apostol, Tom M. (2000). “A centennial history of the prime number theorem”. Dalam Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J.
    Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. hlm. 1–14. MR 1764793.





  25. ^


    Apostol, Tom M. (1976). “7. Dirichlet’s Theorem on Primes in Arithmetical Progressions”.
    Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. hlm. 146–156. MR 0434929.





  26. ^


    Chabert, Jean-Luc (2012).
    A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. hlm. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.





  27. ^


    Rosen, Kenneth H. (2000). “Theorem 9.20. Proth’s Primality Test”.
    Elementary Number Theory and Its Applications
    (edisi ke-4th). Addison-Wesley. hlm. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.





  28. ^


    Mollin, Richard A. (2002). “A brief history of factoring and primality tentamen B. C. (before computers)”.
    Mathematics Magazine.
    75
    (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.





  29. ^


    Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016).
    The Once and Future Turing. Cambridge University Press. hlm. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.





  30. ^

    Rosen 2000, hal. 245.

  31. ^


    Beiler, Albert H. (1999) [1966].
    Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. hlm. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.





  32. ^


    Katz, Shaul (2004). “Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem”.
    Science in Context.
    17
    (1–2): 199–234. doi:10.1017/S0269889704000092. MR 2089305.





  33. ^


    Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014).
    Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. hlm. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.





  34. ^


    Bauer, Craig P. (2013).
    Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. hlm. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.





  35. ^


    Klee, Victor; Wagon, Stan (1991).
    Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions.
    11. Cambridge University Press. hlm. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.





  36. ^

    Neale 2017, pp. 18, 47.
  37. ^


    a




    b




    Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). “The history of the primality of one: a selection of sources”.
    Journal of Integer Sequences.
    15
    (9): Article 12.9.8. MR 3005523.




    For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on this issue, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.

  38. ^


    Tarán, Leonardo (1981).
    Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy.
    39. Brill. hlm. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.





  39. ^

    Caldwell
    et al. 2012, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.

  40. ^

    Caldwell
    et al. 2012, p. 15.
  41. ^


    a




    b




    c




    Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). “What is the smallest prime?”
    (PDF).
    Journal of Integer Sequences.
    15
    (9): Article 12.9.7. MR 3005530.





  42. ^


    Riesel, Hans (1994).
    Prime Numbers and Computer Methods for Factorization
    (edisi ke-2nd). Basel, Switzerland: Birkhäuser. hlm. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250.




  43. ^


    a




    b




    Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996).

    The Book of Numbers

    Perlu mendaftar (gratis)

    . New York: Copernicus. hlm. 129–130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676.





  44. ^

    For the totient, see Sierpiński 1988, p. 245. For the sum of divisors, see
    Sandifer, C. Edward (2007).
    How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. hlm. 59. ISBN 978-0-88385-563-8.





  45. ^


    Smith, Karl J. (2011).
    The Nature of Mathematics
    (edisi ke-12th). Cengage Learning. hlm. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.





  46. ^

    Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16;
    Neale, Vicky (2017).
    Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. p. 107. ISBN 978-0-19-109243-5.





  47. ^


    du Sautoy, Marcus (2003).

    The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics

    Perlu mendaftar (gratis)

    . Harper Collins. hlm. 23. ISBN 978-0-06-093558-0.





  48. ^

    Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15;
    Higgins, Peter M. (1998).
    Mathematics for the Curious. Oxford University Press. hlm. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.





  49. ^


    Rotman, Joseph J. (2000).
    A First Course in Abstract Algebra
    (edisi ke-2nd). Prentice Hall. Komplikasi 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.





  50. ^

    Letter in Latin from Goldbach to Euler, July 1730.

  51. ^


    Furstenberg, Harry (1955). “On the infinitude of primes”.
    American Mathematical Monthly.
    62
    (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.





  52. ^


    Ribenboim, Paulo (2004).
    The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. hlm. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.





  53. ^

    Euclid’s
    Elements, Book IX, Proposition 20. See David Joyce’s English translation of Euclid’s proof or
    Williamson, James (1782).
    The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. hlm. 63. OCLC 642232959.





  54. ^


    Vardi, Ilan (1991).
    Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. hlm. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.





  55. ^

    Matiyasevich, Yuri V. (1999). “Formulas for prime numbers”. In Tabachnikov, Serge (ed.).
    Kvant Selecta: Algebra and Analysis. Vol. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.

  56. ^


    Mackinnon, Nick (June 1987). “Prime number formulae”.
    The Mathematical Gazette.
    71
    (456): 113–114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496.





  57. ^


    Matiyasevich, Yuri V. (1999). “Formulas for prime numbers”. Internal Tabachnikov, Serge.
    Kvant Selecta: Algebra and Analysis.
    II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.





  58. ^

    Wright, E.M. (1951). “A prime-representing function”.
    American Mathematical Monthly.
    58
    (9): 616–618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356

  59. ^

    Guy 2013, hlm. vii.

  60. ^

    Guy 2013, C1 Goldbach’s conjecture, hlm. 105–107.

  61. ^


    Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). “Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to




    4




    10

    18




    {\displaystyle 4\cdot 10^{18}}



    “.
    Mathematics of Computation.
    83
    (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1alt=Dapat diakses gratis
    . MR 3194140.




  62. ^

    Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247. See especially p. 239.

  63. ^

    Guy 2013, p. 159.

  64. ^


    Ramaré, Olivier (1995). “On Šnirel’man’s constant”.
    Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa.
    22
    (4): 645–706. MR 1375315.





  65. ^


    Rassias, Michael Th. (2017).
    Goldbach’s Kelainan: Selected Topics. Cham: Springer. hlm. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.





  66. ^

    Sandifer 2007, Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208.

  67. ^


    Ogilvy, C.S.; Anderson, J.Lengkung langit. (1988).
    Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. hlm. 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5.





  68. ^

    Apostol 1976, Section 1.6, Theorem 1.13

  69. ^

    Apostol 1976, Section 4.8, Theorem 4.12
  70. ^


    a




    b




    Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Anyaman (2006).
    An Invitation to Maju Number Theory. Princeton University Press. hlm. 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7.





  71. ^

    Crandall & Pomerance 2005, hlm. 6.
  72. ^


    a




    b



    Crandall & Pomerance 2005, p. 10.

  73. ^


    du Sautoy, Marcus (2011). “What are the odds that your telephone number is prime?”.
    The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin’s Press. hlm. 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0.





  74. ^

    Apostol 1976, Section 4.6, Theorem 4.7

  75. ^

    Riesel 1994, “Large gaps between consecutive primes”, pp. 78–79.

  76. ^


    Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003).
    Algebra. Springer. hlm. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.





  77. ^


    Mollin, Richard A. (1997).
    Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. hlm. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.





  78. ^

    Crandall & Pomerance 2005, Theorem 1.1.5, p. 12.

  79. ^

    Neale 2017, hlm. 18, 47.

  80. ^


    Green, Ben; Tao, Terence (2008). “The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”.
    Annals of Mathematics.
    167
    (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188alt=Dapat diakses gratis
    . doi:10.4007/annals.2008.167.481.





  81. ^

    (Kraft & Washington 2014), Tawaran 5.3, hal. 96.

  82. ^


    Shahriari, Shahriar (2017).
    Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts.
    27. American Mathematical Society. hlm. 20–21. ISBN 978-1-4704-2849-5.





  83. ^

    Dudley 1978, Teorema 3, hal. 28.

  84. ^

    Shahriari 2017, hal. 27–28.

  85. ^

    Ribenboim 2004, Teorema kecil Fermat dan akar primitif modulo a prima, hal. 17–21.

  86. ^

    Ribenboim 2004, The property of Giuga, situasi. 21–22.

  87. ^

    Ribenboim 2004, The theorem of Wilson, peristiwa. 21.
  88. ^


    a




    b




    c




    Childress, Nancy (2009).
    Class Field Theory. Universitext. Springer, New York. hlm. 8–11. doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. MR 2462595.




    Tatap pula hal. 64.

  89. ^


    Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016).
    Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (edisi ke-2nd). Boca Raton, FL: CRC Press. hlm. 200. ISBN 978-1-4987-1749-6. MR 3468748.





  90. ^


    Weil, André (1995).

    Basic Number Theory

    Akses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan

    . Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916.




    Sekadar perhatikan bahwa beberapa penulis seperti (Childress 2009) malah menggunakan “tempat” bikin memahamkan kelas norma yang setara.

  91. ^


    Koch, H. (1997).
    Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136. CiteSeerX10.1.1.309.8812alt=Dapat diakses gratis
    . doi:10.1007/978-3-642-58095-6. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965.





  92. ^


    Lauritzen, Niels (2003).
    Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 127. doi:10.1017/CBO9780511804229. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325.





  93. ^

    Lauritzen 2003, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.

  94. ^

    Kraft & Washington 2014, Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301.

  95. ^


    Eisenbud, David (1995).
    Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics.
    150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Section 3.3. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.





  96. ^


    Shafarevich, Igor R. (2013). “Definition of




    Spec



    A


    {\displaystyle \operatorname {Spec} A}



    “.
    Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds
    (edisi ke-3rd). Springer, Heidelberg. hlm. 5. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288.




  97. ^


    Neukirch, Jürgen (1999).
    Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences].
    322. Berlin: Springer-Verlag. Section I.8, hal. 50. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859.





  98. ^

    Neukirch 1999, Episode I.7, situasi. 38

  99. ^


    Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W., Jr. (1996). “Chebotarëv and his density theorem”.
    The Mathematical Intelligencer.
    18
    (2): 26–37. CiteSeerX10.1.1.116.9409alt=Dapat diakses gratis
    . doi:10.1007/BF03027290. MR 1395088.





  100. ^

    Hall, Marshan (2018),
    The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. Bikin teorema Sylow. lihat hlm. 43. Cak bagi teorema Lagrange, lihat hlm. 12. Buat teorema Burnside, lihat hlm. 143.

Pranala luar

[sunting
|
sunting sumur]

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], “Prime number”,
    Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4



  • Caldwell, Chris, The Prime Pages di primes.utm.edu.
  • Prime Numbers di In Our Time di BBC.
  • Tambahan paket hawa dan pelajar: kadar prima dari Sesak, majalah matematika online gratis yang diproduksi oleh Millennium Mathematics Project di University of Cambridge.

Generator dan kalkulator

[sunting
|
sunting mata air]

  • Kalkulator faktor prima boleh memfaktorkan garis hidup bulat riil apa pun hingga 20 digit.
  • Verifikasi primalitas Online Cepat dengan faktorisasi menunggangi Metode Kurva Elliptik (sampai angka seribu digit, memerlukan Java).
  • Basis data bilangan prima terbesar
  • Bilangan Prima hingga 1 triliun

Templat:Teori bilangan Templat:Inferior pendistribusian Templat:Papan bawah bilangan prima Templat:Kelas bilangan asli



Bilangan Prima Yang Kurang Dari 15 Adalah

Source: https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima

Baca juga:   Pembangunan Pola Pikir Dapat Diasah Melalui