Salah Satu Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran

Pada limbung $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung gudi melalui bintik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ nan tepat berkecukupan pada kalangan adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.

Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left(3, –4 \right)$ adalah:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\ x \cdot (3) + y \cdot (-4) &= 25 \\ 3x – 4y &= 25 \end{align}$

Jika kita gambarkan kursi bintik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3x – 4y = 25$

Lega kalangan $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melintasi bintik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat subur puas limbung adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.

Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=20$ jika titik singgungnya $T \left( 4,2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\ x \cdot (4) + y \cdot (2) &= 20 \\ 4x + 2y &= 20 \\ 2x + y &= 10 \end{align}$

Jikalau kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran sama dengan berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan nan sesuai adalah $(A)\ 2x + y = 10$

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis senggol dok melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat congah pada lingkaran yaitu $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.

Garis senggol limbung $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+6 \right)^{2}=25$ jika tutul singgungnya $Horizon \left( 5,-2 \right)$ ialah:
$\begin{align}
\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right) &= r^{2} \\ \left(x-2 \right) \left(x_{1}-2 \right)+\left(y+6 \right)\left(y_{1}+6 \right) &= 25 \\ \left(x-2 \right) \left(5-2 \right)+\left(y+6 \right)\left(-2+6 \right) &= 25 \\ \left(x-2 \right) \left(3 \right)+\left(y+6 \right)\left( 4 \right) &= 25 \\ 3x-6 +4y+24 &= 25 \\ 3x +4y &= 7 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan halangan seperti berikut ini:

$ \therefore $ Saringan yang sesuai yakni $(E)\ 3x + 4y = 7$

Sreg lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melewati titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat rani lega lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.

Garis senggol lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ sekiranya tutul singgungnya $Cakrawala \left( 2,1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right) &= r^{2} \\ \left(x+3 \right) \left(x_{1}+3 \right)+\left(y-4 \right)\left(y_{1}-4 \right) &= 34 \\ \left(x+3 \right) \left(2+3 \right)+\left(y-4 \right)\left(1-4 \right) &= 34 \\ \left(x+3 \right) \left( 5 \right)+\left(y-4 \right)\left( -3 \right) &= 34 \\ 5x+15 -3y+12 &= 34 \\ 5x -3y &= 7 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Saringan yang sesuai adalah $(B)\ 5x – 3y = 7$

Pada dok $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis sentuh lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada galengan adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.

Garis singgung landasan $x^{2} + y^{2} – 10x + 4y + 9 = 0$ sekiranya tutul singgungnya $T \left( 1,-4 \right)$ adalah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\ x( 1) +y(-4)+\frac{1}{2}(-10)(x+( 1))+\frac{1}{2}(4)(y+(-4))+(9) &= 0 \\ x -4y -5x -5 +2y -8 +9 &= 0 \\ -4x -2y -4 &= 0 \\ 2x+y+2 &= 0 \end{align}$

Jikalau kita gambarkan takhta bintik, garis dan lingkaran sebagai halnya berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x + y = -2$

Sreg halangan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis senggol lingkaran melangkaui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat kaya pada landasan adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.

Garis senggol lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2x + 2y – 23 = 0$ jika noktah singgungnya $Kaki langit \left( -3,2 \right)$ ialah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\ x(-3) +y(2)+\frac{1}{2}(-2)(x+(-3))+\frac{1}{2}(2)(y+(2))+(-23) &= 0 \\ -3x +2y -x +3 +y +2 -23 &= 0 \\ -4x +3y -18 &= 0 \end{align}$

Jikalau kita gambarkan kedudukan bintik, garis dan lingkaran seperti mana berikut ini:

$ \therefore $ Seleksian yang sesuai adalah $(D)\ 4x – 3y +18 =0$

Pada landasan $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis senggol lingkaran dengan gradien $m$ yaitu $y =m \left(x \right) \pm \sqrt{m^{2}+1}$.

Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ dengan gradien $m=3$ adalah:
$\begin{align}
y &= m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= 3 \left(x \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{(3)^{2}+1} \\ y &= 3x \pm 10 \end{align}$

Kalau kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan nan sesuai merupakan $(A)\ y= 3x \pm 10$

Pada kalangan $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis senggol lingkaran dengan gradien $m$ yaitu $y =m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Garis sentuh landasan $x^{2} + y^{2} = 4$ dengan gradien $-\frac{4}{3}$ merupakan:
$\begin{align}
y &= m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= -\frac{4}{3} \left(x \right) \pm 2 \cdot \sqrt{\left( -\frac{4}{3} \right)^{2}+1} \\ y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \sqrt{ \frac{16}{9}+1} \\ y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \frac{5}{3} \\ 3y &= -4x \pm 10 \\ \end{align}$

Jika kita gambarkan singgasana garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x+3y= \pm 10$

Pada galengan $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ yaitu $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Garis senggol lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+5 \right)^{2}=20$ dengan gradien $2$ adalah:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-(-5) &= 2 \left(x-(2) \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{\left( 2 \right)^{2}+1} \\ y+5 &= 2x – 4 \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} \\ y+5 &= 2x – 4 \pm \sqrt{100} \\ y &= 2x – 9 \pm 10 \\ y &= 2x +1\ \text{alias} \\ y &= 2x -19 \end{align}$

Jika kita gambarkan geta garis dan lingkaran sebagai halnya berikut ini:

$ \therefore $ Sortiran yang sesuai adalah $(D)\ y = 2x + 1$

Pada galangan $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ yaitu $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Garis sentuh lingkaran $\left(x-3 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=10$ dengan gradien $\frac{1}{3}$ adalah:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-(1) &= \frac{1}{3} \left(x-(3) \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^{2}+1} \\ y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{ \frac{1}{9}+1} \\ y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{ \frac{10}{9}} \\ y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{ \frac{100}{9}} \\ y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \frac{10}{3} \\ 3y-3 &= x-3 \pm 10 \\ 3y &= x \pm 10 \end{align}$

Seandainya kita gambarkan singgasana garis dan lingkaran sama dengan berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ x-3y = 10$

Lega lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis sentuh lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 = 0$ dengan gradien $-3$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 &= 0\\ \left( x-3 \right)^{2}-9 + \left( y+2 \right)^{2}-4 +3 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2} + \left( y+2 \right)^{2} &= 10 \end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas kita peroleh:
$\begin{align} y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-(-2) &= (-3) \left(x-(3) \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{\left( -3 \right)^{2}+1} \\ y+2 &= -3x+9 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \\ y &= -3x+7 \pm 10 \\ y &= -3x-3\ \text{maupun} \\ y &= -3x + 17 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan dok seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=–3x – 3$

Lega galengan $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung limbung dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Garis singgung landasan $x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 = 0$ dengan gradien $-1$ yakni:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 &= 0\\ \left( x-4 \right)^{2}-16 + \left( y+3 \right)^{2}-9 + 17 &= 0 \\ \left( x-4 \right)^{2} + \left( y+3 \right)^{2} &= 8 \end{align}$
Dari persamaan dok di atas kita terima:
$\begin{align} y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-(-3) &= (-1) \left(x-(4) \right) \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{\left( -1 \right)^{2}+1} \\ y+3 &= – x+4 \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} \\ y &= – x+1 \pm \sqrt{16} \\ y &= – x+1 \pm 4 \\ y &= – x+5\ \text{maupun} \\ y &= – x -3 \end{align}$

Kalau kita gambarkan geta garis dan dok seperti berikut ini:

$ \therefore $ Sortiran yang sesuai yaitu $(A)\ y = -x+5$

Cak bagi menyelesaikan ini ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, antara tak menggunakan jarak titik ke garis, memperalat diskriminan persamaan kuadrat persekutuan, ataupun menggunakan pertepatan garis yang ditentukan dengan dua cara.

Berikut ini yang kita gunakan adalah menggunakan persamaan garis singgung yang ditentukan dengan dua mandu.

Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $Falak \left(-7, 1 \right)$ sehingga persamaan garis merupakan:
$\begin{align}
y – y_{1} &= m \left( x – x_{1} \right) \\ y – 1 &= m \left( x + 7 \right) \\ y &= mx + 7m + 1 \end{align}$

Garis sentuh lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
y &= m x \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm 5\sqrt{m^{2}+1} \end{align}$

Dari kedua kemiripan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx \pm 5 \sqrt{m^{2}+1} &= mx + 7m + 1 \\ \pm 5 \sqrt{m^{2}+1} &= 7m + 1 \\ 25 \cdot \left( m^{2}+1 \right) &= \left( 7m + 1 \right)^{2} \\ 25m^{2}+ 25 &= 49m^{2}+14m+ 1 \\ 24m^{2}+14m -24 &= 0 \\ 12m^{2}+7m -12 &= 0 \\ \left( 4m-3 \right) \left( 3m+4 \right)&= 0 \\ m= \frac{3}{4}\ \text{atau}\ & m=-\frac{4}{3} \end{align}$

• untuk $m=\frac{3}{4}$ kita peroleh $y= \frac{3}{4}x+7 \cdot \frac{3}{4}+1$ ataupun $4y=3x+25$
• buat $m= -\frac{4}{3}$ kita peroleh $y=-\frac{4}{3}x-7 \cdot \frac{4}{3}+1$ ataupun $3y=-4x-25$.

Jika kita gambarkan takhta garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x – 4y = -25$

Cak bagi memintasi ini suka-suka sejumlah cara yang boleh kita gunakan, antara lain menggunakan jarak titik ke garis, menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persemakmuran, atau menggunakan kemiripan garis yang ditentukan dengan dua cara.

Berikut ini yang kita gunakan adalah menggunakan persamaan garis sentuh nan ditentukan dengan dua cara.

Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui bintik $T \left(1,6 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y – y_{1} &= m \left( x – x_{1} \right) \\ y – 6 &= m \left( x – 1 \right) \\ y &= mx – m + 6 \end{align}$

Garis senggol halangan $x^{2} + y^{2}+2x-19=0$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align} x^{2} + y^{2}+2x-19 &= 0 \\ \left( x+1 \right)^{2}-1 + \left( y-0 \right)^{2} -19 &= 0 \\ \left( x+1 \right)^{2} + \left( y-0 \right)^{2} &= 20 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-0 &= m \left(x+1 \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx+m \pm \sqrt{20m^{2}+20} \end{align}$

Mulai sejak kedua kemiripan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx+m \pm \sqrt{20m^{2}+20} &= mx – m + 6 \\ m \pm \sqrt{20m^{2}+20} &= -m + 6 \\ \pm \sqrt{20m^{2}+20} &= -2m+6 \\ 20m^{2}+ 20 &= \left( -2m+6 \right)^{2} \\ 20m^{2} + 20 &= 4m^{2}-24m+36 \\ 16m^{2} +24m – 16 &= 0 \\ 2m^{2} +3m – 2 &= 0 \\ \left( 2m-1 \right) \left( m+2 \right)&= 0 \\ m= \frac{1}{2}\ \text{ataupun}\ & m=-2 \end{align}$

• buat $m=\frac{1}{2}$ kita peroleh $y= \frac{1}{2}x – \frac{1}{2} + 6$ maupun $2y= x+11$
• bikin $m= -2$ kita peroleh $y=-2x +2 + 6$ alias $ y=-2x+8$.

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan kalangan seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2x + y = 8$

Untuk mengamankan ini cak semau bilang cara yang bisa kita gunakan, antara lain memperalat jarak titik ke garis, menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan, atau menunggangi persamaan garis yang ditentukan dengan dua cara.

Berikut ini nan kita gunakan adalah memperalat persamaan garis singgung yang ditentukan dengan dua cara.

Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $T \left( 0,0 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y – y_{1} &= m \left( x – x_{1} \right) \\ y – 0 &= m \left( x – 0 \right) \\ y &= mx \end{align}$

Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0$ dengan gradien $m$ yakni:
$\begin{align} x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2}-9 + \left( y-1 \right)^{2} -1+8 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2} + \left( y-1 \right)^{2} &= 2 \\ \hline \end{align}$

$\begin{align} y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= m \left(x-3 \right) \pm \sqrt{2} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} \\ y &= mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1 \end{align}$

Berasal kedua persamaan di atas kita sambut:
$\begin{align}
y &= y \\ mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1 &= mx \\ -3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1 &= 0 \\ \pm \sqrt{2m^{2}+2} &= 3m-1 \\ 2m^{2}+ 2 &= \left( 3m-1 \right)^{2} \\ 2m^{2} + 2 &= 9m^{2}-6m+1 \\ 7m^{2} -6m – 1 &= 0 \\ \left( 7m+1 \right) \left( m-1 \right)&= 0 \\ m= -\frac{1}{7}\ \text{ataupun}\ & m=1 \end{align}$

• cak bagi $m=-\frac{1}{7}$ kita peroleh $y= -\frac{1}{7}x$ maupun $7y= -x$.
• untuk $m= 1$ kita peroleh $y=x$.

Jika kita gambarkan singgasana garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Sortiran yang sesuai adalah $(E)\ 7y= -x$

Untuk menyelesaikan ini ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, antara lain menggunakan jarak tutul ke garis, menggunakan diskriminan kemiripan kuadrat persekutuan, atau memperalat persamaan garis yang ditentukan dengan dua cara.

Berikut ini yang kita gunakan yaitu menggunakan persamaan garis singgung yang ditentukan dengan dua cara.

Garis sentuh guri kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $\left( 0,10 \right)$ sehingga persamaan garis ialah:
$\begin{align}
y – y_{1} &= m \left( x – x_{1} \right) \\ y – 10 &= m \left( x + 0 \right) \\ y &= mx + 10 \end{align}$

Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=10$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
y &= m x \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm \sqrt{10m^{2}+10} \end{align}$

Dari kedua kemiripan di atas kita terima:
$\begin{align}
y &= y \\ mx \pm \sqrt{10m^{2}+10} &= mx + 10 \\ \pm \sqrt{10m^{2}+10} &= 10 \\ 10m^{2}+ 10 &= 10^{2} \\ 10m^{2} – 90 &= 0 \\ m^{2} – 9 &= 0 \\ \left( m+3 \right) \left( m-3 \right)&= 0 \\ m= -3\ \text{atau}\ & m=3 \end{align}$

• bagi $m=3$ kita terima $y= 3x+10$
• untuk $m= -3$ kita peroleh $y=-3x+10$.

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y = -3x + 10$

Lega lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Gradien garis $3x – 4y = 6$ adalah $m=\frac{3}{4}$, dan garis yang sebanding dengan garis $3x – 4y = 6$ mempunyai gradien yang sama. Sehingga garis singgung lega lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+3 \right)^{2}=16$ gradiennya $m=\frac{3}{4}$

$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left( x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^{2}+1} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{ \frac{9}{16}+1} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{ \frac{25}{16}} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \frac{5}{4} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 5 \\ 4y+12 &= 3x-6 \pm 20 \\ 4y &= 3x -18 \pm 20 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan gudi seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 3x – 4y = 38$

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Gradien garis $2x-y+7=0$ yakni $m=2$, dan garis nan sejajar dengan garis $2x-y+7=0$ punya gradien yang sama. Sehingga garis singgung lega lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+5=0$ gradiennya $m=2$.

$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-6x-2y+5 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2}-9+\left( y-1 \right)^{2}-1 +5 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2} +\left( y-1 \right)^{2} &= 5 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= 2 \left( x-3 \right) \pm \sqrt{5} \cdot \sqrt{\left( 2 \right)^{2}+1} \\ y-1 &= 2x-6 \pm \sqrt{5} \cdot \sqrt{ 5} \\ y-1 &= 2x-6 \pm 5 \\ y &= 2x-5 \pm 5 \end{align}$

Jika kita gambarkan kursi garis dan landasan seperti berikut ini:

$ \therefore $ Sortiran yang sesuai adalah $(A)\ 2x – y – 10 = 0$

Pada kalangan $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ merupakan $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Dua garis yang tegak literal perkalian kedua gradien garis adalah $-1$. Garis $x+y+4=0$ gradiennya adalah $m=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan $x+y+4=0$ gradiennya adalah $m=1$. Garis sentuh pada lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=25$ gradiennya $m=1$

$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= 1 \left( x-2 \right) \pm 5 \cdot \sqrt{\left( 1 \right)^{2}+1} \\ y-1 &= \left(x-2 \right) \pm 5 \cdot \sqrt{2} \\ y &= x-2 \pm 5 \sqrt{2}+1 \\ y &= x-1 \pm 5 \sqrt{2} \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y = x – 1 \pm 5 \sqrt{2}$

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis senggol lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berharta plong lingkaran yakni $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.

Garis sentuh lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ kalau titik singgungnya $P \left(3, 1 \right)$ yakni:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\ x \cdot (3) + y \cdot (1) &= 10 \\ 3x + y &= 10 \end{align}$

Garis $3x + y= 10$ juga menyinggung galengan $\left(x – 4 \right)^{2} + \left(y – 3\right)^{2} = p$ sehingga jarak titik taktik $\left( 4,3 \right)$ ke garis $3x + y= 10$ adalah jari-deriji lingkaran. Sehingga skor $p$ merupakan:
$\begin{align} p &= r^{2} \\ &= \left( \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \right)^{2} \\ &= \left( \left| \dfrac{(3)(4)+(1)(3)-10}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}} \right| \right)^{2} \\ &= \left( \left| \dfrac{5}{\sqrt{10}} \right| \right)^{2} \\ &= \dfrac{25}{10} = 2,5 \end{align}$

Takdirnya kita gambarkan kedudukan garis dan dok seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2,5$

Buat menyelesaikan ini ada sejumlah cara yang dapat kita gunakan, antara lain menggunakan jarak noktah ke garis, menggunakan diskriminan pertepatan kuadrat persekutuan, atau menggunakan persamaan garis yang ditentukan dengan dua cara.

Berikut ini yang kita gunakan adalah menggunakan persamaan garis senggol nan ditentukan dengan dua mandu.

Garis sentuh guri kita misalkan gradiennya $m$ dan menerobos noktah $Kaki langit \left(-3, 1 \right)$ sehingga pertepatan garis yakni:
$\begin{align}
y – y_{1} &= m \left( x – x_{1} \right) \\ y – 1 &= m \left( x + 3 \right) \\ y &= mx + 3m + 1 \end{align}$

Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=8$ dengan gradien $m$ ialah:
$\begin{align}
y &= m x \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm \sqrt{8m^{2}+8} \end{align}$

Berpunca kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx \pm \sqrt{8m^{2}+8} &= mx + 3m + 1 \\ \pm \sqrt{8m^{2}+8} &= 3m + 1 \\ 8m^{2}+ 8 &= \left( 3m + 1 \right)^{2} \\ 8m^{2}+ 8 &= 9m^{2}+6m+ 1 \\ m^{2}+6m – 7 &= 0 \\ \left( m+7 \right) \left( m-1 \right)&= 0 \\ m= -7\ \text{maupun}\ & m= 1 \end{align}$

• kerjakan $m=-7$ kita peroleh $y= -7x + 3(-7) + 1$ atau $ y=-7x-20$
• untuk $m= 1$ kita terima $y= x+3 (1)+1$ atau $ y= x+4$.

Jika kita gambarkan singgasana garis dan lingkaran sebagai halnya berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7x + y + 20 = 0$

Paralelisme umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-tutul $O \left( 0,0 \right)$, $A \left( 0,8 \right)$ dan $B \left( 6,0 \right)$ sehingga boleh kita tuliskan

• Lingkaran melangkaui titik $O \left(0, 0 \right)$, kita peroleh $0^{2}+0^{2}+A(0)+B(0)+C= 0$ sehingga $C=0$
• Lingkaran menerobos bintik $A \left( 0,8 \right)$, kita peroleh $0^{2}+8^{2}+A(0)+B(8)+0= 0$ sehingga $B=-8$
• Lingkaran melangkaui titik $B \left(6, 0 \right)$, kita peroleh $6^{2}+0^{2}+A(6)+B(0)+0= 0$ sehingga $A=-6$

Untuk $A=-6$, $B=-8$ dan $C=0$ maka persamaan dok $x^{2} + y^{2} -6x -8y = 0$

Pada kalangan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis singgung lingkaran melalui noktah $\left(x_{1},y_{1} \right)$ nan tepat bernas pada lingkaran adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.

Garis singgung dok $x^{2} + y^{2} -6x -8y = 0$ jika titik singgungnya $A \left( 0,8 \right)$ adalah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\ x(0) +y(8)+\frac{1}{2}(-6)(x+(0))+\frac{1}{2}(-8)(y+(8)) &= 0 \\ 8y-3x-4y-32 &= 0 \\ 4y -3x-32 &= 0 \end{align}$

Jika kita gambarkan kursi titik, garis dan gudi seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan nan sesuai adalah $(B)\ 3x – 4y + 32 = 0$

Pematang $x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 = 0$ menyinggung sumbu $x$ atau garis $y=0$ sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{align} x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 &= 0 \\ x^{2} + (0)^{2} -mx -10(0)+4 &= 0 \\ x^{2} – mx + 4 &= 0 \\ \hline D &= 0 \\ b^{2} – 4ac &= 0 \\ (-m)^{2} – 4(1)(4) &= 0 \\ m^{2} – 16 &= 0 \\ \left( m-4 \right) \left( m + 4 \right) &= 0 \\ m=4\ \text{atau}\ m=-4 & \end{align}$

Jikalau kita gambarkan takhta titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai merupakan $(B)\ -4\ \text{dan}\ 4$