Vektor a Tegak Lurus Vektor B

Blog Koma

– Sesudah mempelajari materi “proyeksi ortogonal vektor pada vektor”, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi
Onderdil Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor. Materi
Onderdil Vektor yang Berdiri Harfiah terhadap Vektor
ini sangat tersapu dengan proyeksi vektor karena pengerjaannya melibatkan bentuk proyeksi vektor. Lega proyeksi vektor $ \vec{a} $ lega vektor $ \vec{b} $ menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana vektor $ \vec{c} $ adalah “komponen vektor $ \vec{a} $ yang sepadan terhadap vektor $ \vec{b} $”. Namun sreg artikel ini kita lebih fokus pada
komponen yang tegak lurus. Untuk melajukan mempelajari materi
Komponen Vektor nan Redup Lurus terhadap Vektor, teman-teman harus menguasai materi “enumerasi dan pengurangan vektor”, “perkalian vektor dengan skalar”, “perkalian dot dua vektor”, “tinggi vektor”, dan tentunya materi “proyeksi vektor”.

         Dalam mempelajari
Suku cadang Vektor nan Tegak Lurus terhadap Vektor, perhatikan buram berikut. Misalkan terwalak vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$ atau R$^3$ sebagaimana tertentang puas ilustrasi gambar berikut ini.

Komponen Vektor $ \vec{a} $ nan Tegak Lurus terhadap Vektor $ \vec{b} $

ditunjukkan makanya vektor $ \vec{p} $ (hasilnya yakni vektor $ \vec{p}$). Vektor $ \vec{c} $ adalah vektor proyeksi $ \vec{a} $ terhadap $ \vec{b} $ yang kita ujar misal komponen sederajat $ \vec{a} $ terhadap $ \vec{b} $.

Contoh Soal Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (1, -2, 3) $ dan $ \vec{b} = (-3, 1, 2) $. Tentukan :

a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang merembah lurus terhadap vektor $ \vec{b} $

b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang mengirik verbatim terhadap vektor $ \vec{a} $

Penyelesaian :

*). Menentukan pergandaan dot dan panjang vektor :

$ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} = 1.(-3) + -2.1 + 3.1 = -3 -2 + 6 = 1 $

$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $

$ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $

a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang samar muka lurus terhadap vektor $ \vec{b} $

Misalkan hasilnya vektor $ \vec{p} $ :

$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} – \vec{c} = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = (1, -2, 3) – \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) – \left( \frac{1}{14} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) – \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{14}{14}, -\frac{28}{14}, \frac{42}{14} \right) – \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) \end{align} $

Sehingga Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $ adalah $ \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) $.

b). Komponen vektor $ \vec{b} $ nan tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $

Misalkan hasilnya vektor $ \vec{q} $ :

$ \begin{align} \vec{q} & = \vec{b} – \vec{c} = \vec{b} – \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = (-3, 1, 2) – \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) – \left( \frac{1}{14} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) – \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{42}{14}, \frac{14}{14}, \frac{28}{14} \right) – \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) \end{align} $

Sehingga Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $ adalah $ \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) $.

2). Diketahui $ \vec{ a} = ( x, 0 , 2) $, $ \vec{b} = (1, 1, -1) $ dan suku cadang vektor $ \vec{a} $ terhadap vektor $ \vec{b} $ adalah $ (0, 1, 1) $. Tentukan angka $ x $!

Perampungan :

*). Misalkan komponen mengirik lurusnya yakni $ \vec{p} = (0, 1,1) $.

*). Menentukan perkalian dot dan panjang vektor :

$ \vec{a}. \vec{b} = x. 1 + 0.1 + 2.(-1) = x – 2 $

$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} $

*). Menentukan nilai $ x $ :

$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) – \left( \frac{x – 2}{(\sqrt{3})^2} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) – \left( \frac{x – 2}{3} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) – \left( \frac{x – 2}{3} , \frac{x – 2}{3} , -\frac{x – 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x – \frac{x – 2}{3} , 0 – \frac{x – 2}{3} , 2 + \frac{x – 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x – \frac{x – 2}{3} , – \frac{x – 2}{3} , 2 + \frac{x – 2}{3} \right) \end{align} $

Dari kesamaan dua vektor ini kita pilih yang termudah dihitung merupakan yang tengah :

$ 1 = – \frac{x – 2}{3} \rightarrow x-2 = -3 \rightarrow x = -1 $.

Jadi, biji $ x = -1 $.

$ \clubsuit \, $ pembuktian Rumus Komponen Vektor yang Agak kelam Lurus terhadap Vektor :

Perhatikan ilustrasi gambar beriut,

-). Vektor $ \vec{c} $ merupakan vektor proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

$ \, \, \, \, \, \, \vec{c} = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $ .

-). Perhatikan vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{c} $ , dan $ \vec{p} $ . Berlandaskan rasam pencacahan secara geometri yakni aturan jajargenjang, maka kita peroleh :

$ \begin{align} \vec{a} & = \vec{c} + \vec{p} \\ \vec{p} & = \vec{a} – \vec{c} \\ \vec{p} & = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

Jadi, pahit lidah bahwa onderdil tegak lurusnya merupakan $ \vec{p} = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $.

       Demikian pembahasan materi
Suku cadang Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor

dan contoh-contohnya. Silahkan pun baca materi tak nan berkaitan dengan “Materi vektor tingkat SMA” yang ada puas setiap bagian pengunci dari artikel. Terima karunia.